Question

矩形OBCD在如圖所示的平面直角坐標系中，其中三個頂點分別是O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直線AB交x軸于點A（1，0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式，并寫出其頂點E的坐標；
（3）過點E作x軸的平行線EF交AB于點F，將直線AB沿x軸向右平移2個單位，與x軸交于點G，與EF交于點H，請問過A、B、C三點的拋物線上是否存在點P，使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）由于四邊形OBCD是矩形，根據(jù)B、C的坐標即可確定C點的坐標，然后可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而可求出其頂點坐標；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)易求得EH、AG的長，根據(jù)兩個三角形的面積關(guān)系可求出EH、AG邊上高的比例關(guān)系，進而可確定P點的縱坐標，進而可根據(jù)拋物線的解析式求出P點坐標．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過A（1，0），B（0，3）的直線AB的解析式為y=kx+3；
設(shè)k+3=0，
解得k=-3．
∴直線AB的解析式為y=-3x+3．

（2）經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+3
∵D（-2，0），B（0，3）是矩形OBCD的頂點，
∴C（-2，3）；
則

a+b+3=0 4a-2b+3=3

解得

a=-1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴頂點E（-1，4）．

（3）存在．
解法1：∵EH∥x軸，直線AB交EH于點F．
∴將y=4代入y=-3x+3得F（-

1

3

，4）
∴EF=

2

3

有平移性質(zhì)可知FH=AG=2
∴EH=EF+FH=

2

3

+2=

8

3

設(shè)點P的縱坐標為y_p
①當點P在x軸上方時，
有S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×y_p=

3

4

×

1

2

×

8

3

×（4-y_p）
解得y_p=2
∴-x²-2x+3=2
解得x₁=-1+

2

，x₂=-1-

2

∴存在點P₁（-1+

2

，2），點P₂（-1-

2

，2）
②當點P在x軸下方時
由S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×（-y_p）=

3

4

×

1

2

×

8

3

×(4-yp)
∴-y_p=4-y_p∴y_p不存在，
∴點P不能在x軸下方．
綜上所述，存在點P1(-1+

2

，2)，P2(-1-

2

，2)
使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH．
解法2：∵EH∥x軸，直線AB交BH于點F．
∴將y=4代入y=-3x+3得F（-

1

3

，4），
∴EF=

2

3

．
由平移性質(zhì)可知FH=AG=2．
∴EH=EF+FH=

2

3

+2=

8

3

設(shè)點P到EH和AG的距離分別為h₁和h₂
由S_△PAG=

3

4

S_△PEH得

1

2

×2×h2=

3

4

×

1

2

×

8

3

×h1
∴h₁=h₂
顯然，點P只能在x軸上方，
∴點P的縱坐標為2
∴-x²-2x+3=2
解得x1=-1+

2

，x2=-1-

2

∴存在點p1(-1+

2

，2)，點p2(-1-

2

，2)
使得S_△PAG=

3

4

S_△PEH．

點評：此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，平移的性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識，能夠根據(jù)△PAG和△PEH的面積關(guān)系來確定P點縱坐標是解答（3）題的關(guān)鍵．