Question

（2012•開平區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點，且A、B兩點的坐標分別  為（3，0）、（-1，0），與y軸交于點C．
（1）求出該拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）若有兩個動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒

3

2

個單位長度的速度沿線段OA運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線O→C→A運 動，設運動時間為t秒．
①在運動過程中，是否存在DE∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由； 
②若△ODE的面積為S，求出S關于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據(jù)A、B、C三點的坐標用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出M點的坐標，由于四邊形OAMC不是規(guī)則的四邊形，因此可過M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
（3）①如果DE∥AC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=

1

2

OE•OD，由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=

1

2

OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關系式；綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數(shù)的不同表達式．

解答：解：（1）由題意知：拋物線y=ax²+bx+4經過A（3，0）、B（-1，0）
則

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得：

a=- 4 3 b= 8 3

，
故所求的解析式為：y=-

4

3

x2+

8

3

x+4；

（2）∵y=-

4

3

x2+

8

3

x+4=-

4

3

(x-1)2+

16

3

，
∴頂點M的坐標為(1，

16

3

)，
如圖1，過點M作MF⊥x軸于點F，
則S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM=

1

2

×(3-1)×

16

3

+

1

2

×(4+

16

3

)×1=10，
即四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC；
理由：如圖2，若DE∥OC，則點D、E應分別在線段OA、CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5，
設點E的坐標為（x₁，y₁）
則

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∵|x₁|=

3

2

t，
∴t=

8

3

，
∵t=

8

3

＞2，不滿足1＜t＜2，
∴不存在DE∥OC，
②根據(jù)題意得出D，E兩點相遇的時間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒），
現(xiàn)分情況討論：
當0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t2，
如圖3，當1＜t≤2時，設點E的坐標為（x₂，y₂），
則

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
故|y₂|=

36-16t

5

，
S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t2+

27

5

t，
③當2＜t＜

24

11

，
如圖4，設點E的坐標為（x₃，y₃），類似②可得|y₃|=

36-16t

5

，
設點D的坐標為（x₄，y₄），
故

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
則|y₄|=

6t-12

5

，
則S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，注意分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．