Question

已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，E為BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)DE．

(1)如圖，求證：DE是⊙O的切線；

(2)連結(jié)OE、AE，當(dāng)∠CAB為何值時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sin∠CAE的值．

(第(2)問答題要求：不要求寫出解題過程，只需將結(jié)果填寫在答題卡相應(yīng)題號的橫線上．)

Answer 1

答案：
解析：

(1)證法一： 　　連結(jié)DO，OB 　　∵AB是⊙O的直徑 　　∴∠ADB＝ 　　∴∠CDB＝ 　　∵E為BC邊上的中點(diǎn) 　　∴CE＝EB＝DE 　　∴∠1＝∠2 　　∵OB＝OD 　　∴∠3＝∠4 　　∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3 　　∵在Rt△ABC中，∠ABC＝∠2＋∠3＝ 　　∴∠EDO＝∠1＋∠4＝ 　　∵D為⊙O上的點(diǎn) 　　∴DE是⊙O的切線 　　證法二：連結(jié)OD，OE 　　∵OA＝OD 　　∴∠1＝∠2 　　∵E為BC邊上的中點(diǎn)，O為AB邊上的中點(diǎn) 　　∴OE∥AC 　　∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 　　∴∠3＝∠4 　　∵OD＝OB，OE＝OE 　　∴△EDO≌△EBO 　　∴∠EDO＝∠EBO 　　∴△ABC為直角三角形 　　∴∠EBO＝ 　　∴∠EDO＝ 　　∵D為⊙O上的點(diǎn) 　　∴DE是⊙O的切線 　　(2)解：∠CAB＝ 　　sin∠CAE＝

提示：

根據(jù)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，要證明DE是⊙O的切線，只需證明∠EDO＝即可，故需連接DO．第(2)小問是條件開放式試題，是在圖形變化和運(yùn)動中讓考生探求所需的條件，既有新意，又加大考查力度．