Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．
（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE= ，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE垂直平分AC，

∴∠DEC=90°，AE=CE，

∴DC為△DEC外接圓的直徑，

取DC的中點O，連結(jié)OE，如圖，

∵∠ABC=90°，

∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴EB=EC，

∵∠C=30°，

∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，

∴∠BEO=90°，

∴OE⊥BE，

而OE為⊙O的半徑，

∴BE是△DEC外接圓的切線

（2）解：∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線，

∴AE=EC=BE= ，

∴AC=2 ，

∵∠ECD=∠BCA，

∴Rt△CED∽Rt△CBA，

∴ ，

而CB=CD+BD=CD+1，

∴ = ，

解得CD=2或CD=﹣3（舍去），

∴△DEC外接圓的直徑為2

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑；取DC的中點O，連結(jié)OE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，則∠EOD=2∠C=60°，可計算出∠BEO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由BE為Rt△ABC斜邊上的中線得到AE=EC=BE= ，易證得Rt△CED∽Rt△CBA，則 ，然后利用相似比可計算出△DEC外接圓的直徑CD．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識點，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．