已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點P（2，3），點D是正比例函數(shù)圖象上的一點，過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C和點Q，DC、DQ分別交反比例函數(shù)的圖象于點F和點A，過點A作x軸的垂線，垂足為B，AB交正比例函數(shù)的圖象于點E．
（1）當(dāng)點D的縱坐標(biāo)為9時，求：點E、F的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點D在線段OP的延長線上運動時，試猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
分析：（1）先利用待定系數(shù)法可求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=
3
2
x，y=
6
x
；把y=9代入y=
3
2
x，得x=6，可確定D點坐標(biāo)為（6，9），根據(jù)題意可得A點的縱坐標(biāo)為9，點F的橫坐標(biāo)為6，然后把y=9代入y=
6
x
得x=
2
3
，把x=6代入y=
6
x
得y=1，則A點坐標(biāo)為（
2
3
，9），F(xiàn)點坐標(biāo)為（6，1），即得到點E的橫坐標(biāo)為
2
3
，x=
2
3
代入y=
3
2
x得y=1，從而可確定E點坐標(biāo)為（
2
3
，1）；
（2）設(shè)D點坐標(biāo)為（a，
3
2
a），與（1）一樣可得A點的縱坐標(biāo)為
3
2
a，點F的橫坐標(biāo)為a，把y=
3
2
a代入y=
6
x
得x=
4
a
，把x=a代入y=
6
x
得y=
6
a
，即可得到A點坐標(biāo)為（
4
a
，
3
2
a），F(xiàn)點坐標(biāo)為（a，
6
a
），可得DF=
3
2
a-
6
a
；而點E的橫坐標(biāo)與點A的橫坐標(biāo)相同，即點E的橫坐標(biāo)為
4
a
，把x=
4
a
代入y=
3
2
x得y=
6
a
，則E點坐標(biāo)為（
4
a
，
6
a
），則有AE=
3
2
a-
6
a
，即可得到AE=DF．
解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=k1x，y=
k 2
x
，把P（2，3）分別代入得k1=
3
2
，k2=6，
∴正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=
3
2
x，y=
6
x
，
又∵點D的縱坐標(biāo)為9，
∴對于y=
3
2
x，令y=9，得9=
3
2
x，解得x=6，
∴D點坐標(biāo)為（6，9），
∵DC⊥x軸，DQ⊥y軸，
∴A點的縱坐標(biāo)為9，點F的橫坐標(biāo)為6，
∵點A與點F在反比例y=
6
x
的圖象上，
∴把y=9代入y=
6
x
得x=
2
3
，把x=6代入y=
6
x
得y=1，
∴A點坐標(biāo)為（
2
3
，9），F(xiàn)點坐標(biāo)為（6，1），
又∵AB⊥x軸，
∴點E的橫坐標(biāo)與點A的橫坐標(biāo)相同，即點E的橫坐標(biāo)為
2
3
，
而點E在直線y=
3
2
x上，把x=
2
3
代入y=
3
2
x得y=1，
∴E點坐標(biāo)為（
2
3
，1）；

（2）AE與DF相等．理由如下：
設(shè)D點坐標(biāo)為（a，
3
2
a），
則A點的縱坐標(biāo)為
3
2
a，點F的橫坐標(biāo)為a，
把y=
3
2
a代入y=
6
x
得x=
4
a
，把x=a代入y=
6
x
得y=
6
a
，
∴A點坐標(biāo)為（
4
a
，
3
2
a），F(xiàn)點坐標(biāo)為（a，
6
a
），
∴DF=
3
2
a-
6
a
；
又∵點E的橫坐標(biāo)與點A的橫坐標(biāo)相同，即點E的橫坐標(biāo)為
4
a
，
而點E在直線y=
3
2
x上，把x=
4
a
代入y=
3
2
x得y=
6
a
，
∴E點坐標(biāo)為（
4
a
，
6
a
）
∴AE=
3
2
a-
6
a
，
∴AE=DF．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在圖象上，點的坐標(biāo)滿足圖象的解析式；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；平行于y軸的直線上所有點的橫坐標(biāo)相同；平行于x軸的直線上所有點的縱坐標(biāo)相同．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=
1x
的圖象交于A、B兩點．
（1）求出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象求使正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正比例函數(shù)y1=x，反比例函數(shù)y2=
1
x
，由y1，y2構(gòu)造一個新函數(shù)y=x+
1
x
其圖象如圖所示．（因其圖精英家教網(wǎng)象似雙鉤，我們稱之為“雙鉤函數(shù)”）．給出下列幾個命題：
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；
②當(dāng)x＜0時，該函數(shù)在x=-1時取得最大值-2；
③y的值不可能為1；
④在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．
其中正確的命題是
 
．（請寫出所有正確的命題的序號）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖象與反比例函致y=
kx
（k≠0）的圖象的一個交點為A（-1，2-k2），另一個交點為B，且A、B關(guān)于原點O對稱，D為OB的中點，過點D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E．
（1）寫出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
（2）試計算△COE的面積是△ODE面積的多少倍？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正比例函數(shù)y1=x，反比例函數(shù)y2=
1
x
，由y1，y2構(gòu)造一個新函數(shù)y=x+
1
x
，其圖象如圖所示．（因其圖象似雙鉤，我們稱之為“雙鉤函數(shù)”）．給出下列幾個命題：
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；
②當(dāng)x＜0時，該函數(shù)在x=-1時取得最大值-2；
③y的值不可能為1；
④在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．
其中正確的命題是（　�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點為M，又正比例函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點M的坐標(biāo)；
（2）已知點E（2，3），且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)值時，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)k為何值時且0＜k＜2，求四邊形PCMB的面積為
93
16
．
（參考公式：已知兩點D（x1，y1），E（x2，y2），則線段DE的中點坐標(biāo)為(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)）

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同步練習(xí)冊答案