已知:如圖所示,關(guān)于x的拋物線y=ax2+x+c(a≠0)與x軸交于點A(-2,0)、點B(6,0),與y軸交于點C.
(1)求出此拋物線的解析式,并寫出頂點坐標(biāo);
(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABDC為等腰梯形,寫出點D的坐標(biāo),并求出直線AD的解析式;
(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M,拋物線上有一動點P,x軸上有一動點Q.是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形?如果存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)可將A,B兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中,可求出拋物線的解析式.進而求出對稱軸的解析式和定點的坐標(biāo);
(2)由于二次函數(shù)和等腰梯形都是軸對稱圖形,可根據(jù)拋物線的對稱軸和C點的坐標(biāo)求出D的坐標(biāo).然后用待定系數(shù)法求出A,D所在直線的解析式.


(3)分五種情況進行討論:
①如圖1,P與M的縱坐標(biāo)相等,可將M的縱坐標(biāo)代入拋物線中求出P的坐標(biāo),然后可根據(jù)M,P的橫坐標(biāo)求出MP的長,即AQ的長,然后根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo).
②如圖2,方法同①.
③如圖3,根據(jù)平行四邊形的對稱性,那么M,P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),因此可求出P的坐標(biāo),可先在三角形AOM中求出AO的長,然后A到拋物線對稱軸的長+P的橫坐標(biāo)=Q的橫坐標(biāo),據(jù)此可求出Q點的坐標(biāo).
④如圖4,可參照③的方法求出P的坐標(biāo),然后求出PA的長,即MQ的長,然后可過D作x軸的垂線,通過構(gòu)建直角三角形求出OQ的長.進而得出Q的坐標(biāo).
⑤根據(jù)題意畫出圖形,即可求出答案.
解答:解:(1)根據(jù)題意,得,
解得
∴拋物線的解析式為,
頂點坐標(biāo)是(2,4);

(2)D(4,3),
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵直線經(jīng)過點A(-2,0)、點D(4,3),
,

∴y=x+1;

(3)存在.
①如圖1,P與M的縱坐標(biāo)相等,可將M的縱坐標(biāo)代入拋物線中求出P的坐標(biāo),然后可根據(jù)M,P的橫坐標(biāo)求出MP的長,即AQ的長,然后根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo):Q1(2-2,0);
②如圖2,方法同①,Q2(-2-2,0);
③如圖3,根據(jù)平行四邊形的對稱性,那么M,P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),因此可求出P的坐標(biāo),可先在三角形AOM中求出AO的長,然后A到拋物線對稱軸的長+P的橫坐標(biāo)=Q的橫坐標(biāo),據(jù)此可求出Q點的坐標(biāo):Q3(6-2,0);
④如圖4,可參照③的方法求出P的坐標(biāo),然后求出PA的長,即MQ的長,然后可過D作x軸的垂線,通過構(gòu)建直角三角形求出OQ的長.進而得出Q的坐標(biāo):Q4(6+2,0).
⑤以AM為對角線時,把x=2代入y=x+1得y=2,
即M的坐標(biāo)是(2,2),
過M作x軸的平行線交拋物線與P5、P6
則這兩點的縱坐標(biāo)是2,
把y=2代入y=-x2+x+3得:y=-x2+x+3=2,
解得:x=2±2,
即P5(2-2,2),P6(2+2,2),
∴Q5的坐標(biāo)是(2-2,0),Q6的坐標(biāo)是(-2-2,0).
綜上所述:Q1(2-2,0),Q2(-2-2,0),Q3(6-2,0),Q4(6+2,0).
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識,(1)(2)比較簡單,要注意的是(3)中要把所有的情況都考慮到不要漏解.
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(2)在拋物線上有一點D,使四邊形ABDC為等腰梯形,寫出點D的坐標(biāo),并求出直線AD的解析式;
(3)在(2)中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M,拋物線上有一動點P,x軸上有一動點Q精英家教網(wǎng).是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形?如果存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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