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(2011•遼陽)如圖,在城市改造中,市政府欲在一條人工河上架一座橋,河的兩岸PQ與MN平行,河岸MN上有A、B兩個相距50米的涼亭,小亮在河對岸D處測得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到達C處,測得∠BCP=30°,求這條河的寬.(結果保留根號)
分析:應合理應用∠CAQ的度數,CD的長度,所以過點D作CA的平行線得到平行四邊形.過點D向對邊引垂線,得到直角三角形,進而利用三角函數值求得河寬.
解答:解:作AE⊥PQ于E,CF⊥MN于F.(1分)
∵PQ∥MN,
∴四邊形AECF為矩形.
∴EC=AF,AE=CF.(2分)
設這條河寬為x米,
∴AE=CF=x.
在Rt△AED中,
∵∠ADP=60°,
∴ED=
AE
tan60°
=
x
3
=
3
3
x.(4分)
∵PQ∥MN,
∴∠CBF=∠BCP=30°.
∴在Rt△BCF中,
BF=
CF
tan30°
=
x
3
3
=
3
x.(6分)
∵EC=ED+CD,AF=AB+BF,
3
3
x+110=50+
3
x.
解得x=30
3

∴這條河的寬為30
3
米.(10分)
點評:本題考查解直角三角形的應用.難點是作出輔助線,利用三角函數求解.
練習冊系列答案
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70°
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3
3

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(1)求D點坐標;
(2)若拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經過B、D兩點,求此拋物線的表達式;
(3)若拋物線的頂點為E,它的對稱軸與OB交于點F,點P為射線OB上一動點,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點M.是否存在點P,使得以E、F、M、P為頂點的四邊形為等腰梯形?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
參考公式:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
).

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