Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥CD，D為垂足．
（1）求證：AC平分∠DAB．
（2）若AD=3，AC=，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：連接BC，
∴∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△DAC∽△CBA，
∴AD：AC=AC：AB，
∴3：=：AB，
∴AB=5．
分析：（1）先連接OC，由于CD是切線，那么OC⊥CD，而AD⊥CD，于是OC∥AD，再利用平行線的性質(zhì)有∠OCA=∠DAC，又OC=OA，那么∠OCA=∠OAC，從而有∠DAC=∠OAC，可以判定AC平分∠DAB；
（2）連接BC，由于∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，可證△DAC∽△CBA，利用比例線段可求AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OC、BC，并證明OC∥AD．