Question

在直角坐標(biāo)系中，過A（1，0），B（0，-3），C（-3，0）有一條拋物線，在拋物線上有一點P，組成以∠B為直角的Rt△BPC，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：先設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將B點坐標(biāo)代入，求出拋物線的解析式，再求出直線BC的解析式，得到直線BC的斜率，再求出直線PB的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，即可得到P點的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將B點坐標(biāo)代入，
得-3=-3a，解得a=1，
所以拋物線的解析式為y=（x+3）（x-1），即y=x²+2x-3．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

b=-3 -3k+b=0

，解得

k=-1 b=-3

，
即直線BC的解析式為y=-x-3．
∵在Rt△BPC中，∠B=90°，
∴PB⊥BC，
∴直線PB的斜率為1，
設(shè)直線PB的解析式為y=x+t，
將B點坐標(biāo)代入，得-3=t，
∴直線PB的解析式為y=x-3．
由

y=x-3 y=x2+2x-3

，得

x=0 y=-3

或

x=-1 y=-4

，
∴P點的坐標(biāo)為（-1，-4）．

點評：本題考查運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式及其性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，難度適中．求出直線PB的斜率為1是解題的關(guān)鍵．