Question

（2013•南平）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB．設(shè)

AB

BC

=k．
（1）證明：△BGF是等腰三角形；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△BGF是等邊三角形？
（3）我們知道：在一個(gè)三角形中，等邊所對(duì)的角相等；反過來，等角所對(duì)的邊也相等．事實(shí)上，在一個(gè)三角形中，較大的邊所對(duì)的角也較大；反之也成立．
利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時(shí)，k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出BG=FG，從而得出結(jié)論；
（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時(shí)由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BAC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)值就可以求出k的值；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論課得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=

1

2

∠BGF，根據(jù)∠BGF的大小分三種情況討論就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵EF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點(diǎn)，
∴GF=

1

2

AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG=

1

2

AE，
∴GF=GB，
∴△BGF為等腰三角形；

（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時(shí)，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴

AB

BC

=tan∠ACB=

3

，
∴當(dāng)k=

3

時(shí)，△BGF為等邊三角形；

（3）由（1）得△BGF為等腰三角形，由（2）得∠BAC=

1

2

∠BGF，
∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時(shí)，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=

AB

BC

＞1；
當(dāng)△BGF為直角三角形時(shí)，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k=

AB

BC

=1；
當(dāng)△BGF為鈍角三角形時(shí)，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=

AB

BC

＜1；
∴0＜k＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的運(yùn)用，等腰三角形的判定定理的運(yùn)用，外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，分類討論思想在實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)及外角與內(nèi)角的關(guān)系是關(guān)鍵．