Question

如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，請(qǐng)你寫出所有使△POE為等腰三角形的P點(diǎn)坐標(biāo)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：分類討論

分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE，然后分①OE=OP時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，②OE=PE時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合，③OP=OE時(shí)，點(diǎn)P在OE的垂直平分線上，求出OP的長度，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵在菱形ABCD中對(duì)角線AC=6，BD=8，
∴OA=3，OD=4，
∴AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×5=2.5，
①OE=OP時(shí)，OP=2.5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，0）或（-2.5，0），
②OE=PE時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合，P（4，0），
③OP=PE時(shí)，點(diǎn)P在OE的垂直平分線，
∴OP=

1

2

（

1

2

×5）÷

4

5

=

25

16

，
點(diǎn)P（

25

16

，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．
故答案為：（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．