Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線y=x²-x-2過A、B、C三點，在對稱軸上存在點P，以P、A、C為頂
點三角形為直角三角形．則點P的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線解析式求出對稱軸為x=，令y=0，解方程求出點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長度，令x=0，求出點C的坐標，從而得到OC的長度，然后分①∠PAC=90°時，設PA與y軸的交點為D，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OD的長度，從而得到點D的坐標，利用待定系數法求出直線AP的解析式，然后根據點P在對稱軸上求出即可，②∠PCA=90°時，設CP的延長線與x軸相交于點D，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OD的長度，從而得到點D的坐標，利用待定系數法求出直線CP的解析式，然后根據點P在對稱軸上求出即可，③∠APC=90°時，設拋物線對稱軸與x軸相交于點D，過點C作CE⊥PD于點E，表示出AD的長度，設PD=a，表示出PE，CE，然后利用△APD和△PCE相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出a，即可得到點P的坐標．
解答：解：∵拋物線y=x²-x-2=（x-）²-，
∴拋物線的對稱軸為直線x=，
令y=0，則x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
令x=0，則y=-2，
∴點C（0，-2），
∴OC=2，
①∠PAC=90°時，如圖1，設PA與y軸的交點為D，
∵∠DAO+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠DAO=∠ACO，
又∵∠AOC=∠DOA=90°，
∴△ACO∽△DAO，
∴=，
即=，
解得OD=，
所以，點D（0，），
設直線AP解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AP的解析式為y=x+，
當x=時，y=×+=，
所以，點P的坐標為（，）；
②∠PCA=90°時，如圖2，設CP的延長線與x軸相交于點D，
同①可求△ACO∽△CDO，
所以，=，
即=，
解得OD=4，
所以，點D（4，0），
設直線CP的解析式為y=mx+n，
則，
解得，
所以，直線CP的解析式為y=x-2，
當x=時，y=×-2=-，
所以，點P的坐標為（，-）；
③∠APC=90°時，如圖3，設拋物線對稱軸與x軸相交于點D，過點C作CE⊥PD于點E，
∵拋物線對稱軸為直線x=，
∴AD=-（-1）=，CE=，
設PD=a，則PE=PE-PD=OC-PD=2-a，
∵∠PAD+∠APD=90°，∠APD+∠CPE=90°，
∴∠PAD=∠CPE，
又∵∠ADP=∠PEC=90°，
∴△APD∽△PCE，
∴=，
即=，
整理得，4a²-8a+3=0，
解得a₁=，a₂=，
所以，點P的坐標為（，-）或（，-），
綜上所述，點P的坐標為（，）或（，-）或（，-）或（，-）．
故答案為：（，）或（，-）或（，-）或（，-）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線對稱軸的求解，拋物線與坐標軸的交點的求解，相似三角形的判定與性質，待定系數法求直線解析式，綜合性較強，但難度不大，注意分情況討論求解即可．