Question

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120，BC邊上的高AD=80．
（1）如果把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．問加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？
（2）如果把它加工成長(zhǎng)方形零件，使長(zhǎng)方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．問加工成的長(zhǎng)方形零件的最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即△APM∽△ABC，△BPQ∽△BAD，從而得出邊長(zhǎng)之比

PM

BC

=

AP

AB

，

PQ

AD

=

BP

BA

，得到

PM

BC

+

PQ

AD

=

AP

AB

+

BP

BA

=1，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)；
（2）分別討論長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬在BC上的情況，再根據(jù)相應(yīng)得關(guān)系式

PM

BC

+

PQ

AD

=1得出所求．

解答：解：（1）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為a
在正方形PMQN中，PM∥BC，PQ∥AD
∴△APM∽△ABC，△BPQ∽△BAD
∴

PM

BC

=

AP

AB

，

PQ

AD

=

BP

BA

∴

PM

BC

+

PQ

AD

=

AP

AB

+

BP

BA

=1
即：

a

120

+

a

80

=1
解得：a=48
即：正方形零件的邊長(zhǎng)為48；

（2）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，
當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)在BC時(shí)，
由（1）知：

y

120

+

x

80

=1
∵

y

120

+

x

80

≥2

y 120 × x 80

∴當(dāng)

y

120

=

x

80

=0.5，即x=60，y=40，xy最大為2400
當(dāng)長(zhǎng)方形的寬在BC時(shí)，

x

120

+

y

80

=1
∵

x

120

+

y

80

≥2

x 120 × y 80

∴當(dāng)

x

120

=

y

80

=0.5，即x=40，y=60，xy最大為2400，
又∵x≥y，所以長(zhǎng)方形的寬在BC時(shí)，面積＜2400
綜上，長(zhǎng)方形的面積最大為2400．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)．