Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的中點，過點O的直線MN∥BC，且MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，點P是BC延長線上一點．求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
∵AO=CO，EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACP，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，
∴四邊形AECF是矩形．
分析：根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO，再有條件AO=CO，可得到四邊形AECF為平行四邊形，再證明∠ECF=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，解決問題的關(guān)鍵是證明EO=FO和∠ECF=90°．