【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E的中點(diǎn),AEBC交于點(diǎn)F,C=2EAB.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)已知CD=4,CA=6,

①求CB的長;

②求DF的長.

【答案】(1)證明見解析;(2) ①BC=9;②DF=2.

【解析】

(1) 連結(jié)AD, 根據(jù)圓周角定理,EBD的中點(diǎn)得到∠EAB=EAD, 由于∠ACB=2EAB, 則∠ACB=DAB, 再利用圓周角定理得到∠ADB=, 則∠DAC+ACB=90, 所以∠DAC+DAB=, 于是根據(jù)切線的判定定理得到ACOO的切線;

(2)①在RtABC, 根據(jù)cosC===,AC=6可得AC=6;

②作FHABH, BD=BC-CD=5, EAB=EAD, FDAD,FHAB, 推出FD=FH, 設(shè)FB=x, DF=FH=5-x, 根據(jù)cosBFH=cosC==,構(gòu)建方程即可解決問題.

(1)連結(jié)AD,如圖,

E是的中點(diǎn),

==,

∴∠EAB=∠EAD,

∵∠ACB=2∠EAB,

∴∠ACB=∠DAB,

AB是O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴∠DAC+∠ACB=90°,

∴∠DAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,

∴AC⊥AB,

AC是O的切線;

(2)①在RtACB中,

∵cosC===,AC=6,

∴BC=9.

作FHAB于H,

∵BD=BC﹣CD=5,∠EAB=∠EAD,F(xiàn)D⊥AD,F(xiàn)H⊥AB,

FD=FH,設(shè)FB=x,則DF=FH=5﹣x,

∵FH∥AC,

∴∠HFB=∠C,

在RtBFH中,

∵cos∠BFH=cos∠C==,

=,

解得x=3,即BF的長為3,

∴DF=2

練習(xí)冊系列答案
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1)如圖1,當(dāng)時,求證

2)如圖2,當(dāng)時,上述結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由.

3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,如果點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,延長,試猜想的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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【題目】如圖在中,的平分線,交于點(diǎn),的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn),連接.

求證:(1;

2為等腰三角形

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