Question

把正方形OFGE紙板按如圖①方式放置在正方形紙板ABCD上，頂點G在對角線AC，并把正方形OFGE繞頂點A沿逆時針方向旋轉，旋轉角為а．
（1）如圖②，當а=90°時，請直接寫出線段DE與BF的數(shù)量關系和位置關系；
（2）如圖③，當0°＜а＜90°時，（1）中的結論是否發(fā)生改變？若不變，請給出證明；若發(fā)生改變，請舉例說明；
（3）如圖④，將圖①、圖③中的兩個正方形都改為矩形，其他條件不變，設AB=kAD（k＞0），當0°＜а＜90°時，（1）中的結論是否發(fā)生改變？若不變，請給出證明；若發(fā)生改變，請寫出改變后的新結論，并給出證明．

Answer 1

解：（1）DE=BF，DE⊥BF；理由如下：
∵四邊形AFGE、四邊形ABCD都是正方形，
∴AE=AF，AD=AB，∠DAE=∠BAF=90°，
∴△AED≌△AFB，得DE=BF，∠DEA=∠AFB；
由于∠ABF、∠AFB互余，因此∠ABF、∠DEA互余，即∠DEA+∠ABF=90°，故DE⊥BF；
因此DE、BF的數(shù)量關系為相等，位置關系為垂直．

（2）不改變；
證明：如圖（3），連接DE，BF，BD；
同（1）可得：AE=AF，AD=AB，∠DAE=∠BAF（旋轉角），
∴△AED≌△AFB，得DE=BF，∠EDA=∠FBA；
由于∠EDA+∠ADB+∠DBF=∠ABF+∠ADB+∠DBF=90°，即∠EDB+∠DBF=90°，
故DE⊥BF，所以（1）的結論依然成立．


（3）BF=kDE，DE⊥BF；理由如下：
∵AB：AD=AF：AE=k，且∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，且相似比為1：k，
故BF=kDE，∠EDA=∠FBA；
同（2）可證得DE⊥BF；
故BF、DE的數(shù)量關系為：BF=kDE，位置關系為：垂直．
分析：（1）此題可通過全等三角形來求解；首先證△AED≌△AFB，然后根據(jù)全等三角形得到的等角和等邊來進行判斷．
（2）思路同（1），依然是根據(jù)△AED≌△AFB來得到所求的結論．
（3）此題要通過相似三角形來解，首先根據(jù)已知條件，易證得AE、AF與AD、AB對應成比例，而∠DAE=∠FAB，即可證得△AED∽△AFB，由此得DE、BF的比例關系，在求它們的位置關系時，可參照（2）的解法．
點評：此題主要考查的是全等三角形及相似三角形的判定和性質，還涉及到正方形、矩形的性質，考查了學生對知識的綜合應用能力．