Question

某服裝廠現(xiàn)有工人1000人，原來全部從事服裝生產(chǎn)，為了企業(yè)改革需要，準備將其部分人分流從事服務行業(yè)，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，服裝生產(chǎn)的利潤y₁（百萬元）與服裝生產(chǎn)的工作人數(shù)x（百人）的關(guān)系為y₁=，從事服務行業(yè)的純利潤y₂ （百萬元）與從事服務行業(yè)人數(shù)t（百人）的關(guān)系y₂=．服裝工廠總利潤w（百萬元）為兩種行業(yè)純利潤和．
（1）寫出y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）求出W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）工廠如何安排工人數(shù)，才能使總利潤最大？

Answer 1

解：（1）∵服裝廠現(xiàn)有工人1000人，即服裝廠現(xiàn)有工人10百人，
∴從事服務行業(yè)人數(shù)t=10-x（百人），
∵y₂=．
∴y₂=，
即y₂=，
∴y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=；

（2）當0≤x≤6時，w=-（x-1）²+16+2x+3=-（x-3）²+23，
當6≤x≤8時，w=-（x-1）²+16-4x+39=-（x+3）²+59，
當8≤x≤10時，w=（x-1）²-2-4x+39=（x-3）²+29，
∴W與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=；

（3）由（2）可得：①當0≤x≤6時，x=3時，w最大為23百萬元；
②當6≤x≤8時，
∵當x＞-3時，w隨x增大而減小，
∴當x=6時，w最大為18.5百萬元；
③當8≤x≤10時，
∵當x＞3時，w隨x增大而增大，
∴當x=10時，w最大為78百萬元；
∴1000人都從事服裝生產(chǎn)，獲得利潤最大．
分析：（1）由題意可得從事服務行業(yè)人數(shù)t=10-x（百人），又由從事服務行業(yè)的純利潤y₂ （百萬元）與從事服務行業(yè)人數(shù)t（百人）的關(guān)系y₂=，將t=10-x代入，即可求得y₂與x 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由服裝工廠總利潤w（百萬元）為兩種行業(yè)純利潤和，分別從當0≤x≤6時，當6≤x≤8時與當8≤x≤10時去分析即可求得W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用二次函數(shù)最值問題，分別求得當0≤x≤6時，當6≤x≤8時與當8≤x≤10時w的最大值，即可求得答案．
點評：此題考查了二次函數(shù)的實際應用問題．此題難度較大，屬于分段函數(shù)，所以要注意分類討論思想的應用，注意理解題意，根據(jù)題意求得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．