(2003•煙臺(tái))如圖1,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CD切⊙O于點(diǎn)C,AD⊥CD,垂足為D.
(1)求證:AC2=AB•AD;
(2)若將直線CD向上平移,交⊙O于C1、C2兩點(diǎn),其它條件不變,可得到圖2所示的圖形,試探索AC1、AC2、AB、AD之間的關(guān)系,并說明理由;
(3)把直線C1D繼續(xù)向上平移,使弦C1C2與直徑AB相交(交點(diǎn)不與A、B重合),其它條件不變,請(qǐng)你在圖3中畫出變化后的圖形,標(biāo)好相應(yīng)字母,并試著寫出與(2)相應(yīng)的結(jié)論,判斷你的結(jié)論是否成立?若不成立,請(qǐng)說明理由;若成立,請(qǐng)給出證明.

【答案】分析:(1)連接BC,根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明△ACD∽△ABC即可;
(2)根據(jù)(1)的思路,只需把四條線段放到兩個(gè)三角形△ADC2和△AC1B中,證明兩個(gè)三角形相似,即可得到線段之間的關(guān)系;
(3)畫出正確圖形后,同樣把線段放到兩個(gè)三角形中,通過證明三角形相似得到結(jié)論.
解答:(1)證明:連接BC,
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°(1分)
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC(2分)
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC(3分)

∴AC2=AB•AD;(4分)

(2)解:關(guān)系:AC1•AC2=AB•AD.(5分)
理由是:連接BC1,
∵四邊形ABC1C2是圓內(nèi)接四邊形
∴∠AC2D=∠B(6分)
同(1)有∠ADC2=∠AC1B
∴△ADC2∽△AC1B(7分)

∴AC1•AC2=AB•AD;(8分)

(3)解:如右圖,(9分)
結(jié)論是:AC1•AC2=AB•AD,
證明:連接BC1,
同(1)有∠ADC2=∠AC1B
又∵∠C2=∠B(10分)
∴△ADC2∽△AC1B(11分)

∴AC1•AC2=AB•AD.(12分)
點(diǎn)評(píng):綜合運(yùn)用了圓周角定理及其推論和弦切角定理,掌握相似三角形的判定和性質(zhì).注意解決一題多變的方法,思路一般大體相同.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《圖形的相似》(03)(解析版) 題型:解答題

(2003•煙臺(tái))如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,AB=6,延長(zhǎng)BA到F,使FA=AB,若P為線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A重合),過P點(diǎn)作半圓的切線,切點(diǎn)為C,過B點(diǎn)作BE⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于E,設(shè)AC=x,AC+BE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《圓》(09)(解析版) 題型:解答題

(2003•煙臺(tái))如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,AB=6,延長(zhǎng)BA到F,使FA=AB,若P為線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A重合),過P點(diǎn)作半圓的切線,切點(diǎn)為C,過B點(diǎn)作BE⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于E,設(shè)AC=x,AC+BE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(06)(解析版) 題型:解答題

(2003•煙臺(tái))如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,AB=6,延長(zhǎng)BA到F,使FA=AB,若P為線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A重合),過P點(diǎn)作半圓的切線,切點(diǎn)為C,過B點(diǎn)作BE⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于E,設(shè)AC=x,AC+BE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2003年山東省煙臺(tái)市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•煙臺(tái))如圖,是某城市部分街道示意圖,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE,甲、乙兩人同時(shí)從B站乘車到F站,甲乘1路車,路線是B?A?E?F;乙乘2路車,路線是B?D?C?F,假設(shè)兩車速度相同,途中耽誤時(shí)間相同,那么誰先到達(dá)F站,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案