Question

我鄉(xiāng)香爐沖茶廠(chǎng)種植的“香爐沖牌”有機(jī)“岳西翠尖”，由歷年來(lái)市場(chǎng)銷(xiāo)售行情知道，從每年的3月25日起的180天內(nèi)，“香爐沖牌”有機(jī)“岳西翠尖”的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)y（元）與上市時(shí)間t（天）的關(guān)系可以近似的用如圖1種的一條折線(xiàn)表示．“岳西翠尖”的種植除了與氣候，種植技術(shù)有關(guān)外，其種植成本z（元）與上市時(shí)間t（天）的關(guān)系可以近似的用如圖2的拋物線(xiàn)表示．
（1）直接寫(xiě)出圖1表示的市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)y（元）與上市時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出圖2種表示的種植成本z（元）與上市時(shí)間t（天）（t＞0）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）認(rèn)定市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)減去種植成本為純收益單價(jià)，問(wèn)何時(shí)上市“香爐沖牌”有機(jī)“岳西翠尖”純收益最大？
（說(shuō)明：市場(chǎng)銷(xiāo)售單價(jià)和種植成本單價(jià)的單位：元/500克．）

Answer 1

分析：（1）依題意得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)．
（2）依題意得z與a之間的函數(shù)關(guān)系式，如圖得出該函數(shù)經(jīng)過(guò)的坐標(biāo)得出a的值．
（3）設(shè)純收益單價(jià)為W元，則W=銷(xiāo)售單價(jià)-成本單價(jià)，根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)可得w與x也為分段函數(shù)．

解答：解：（1）依題意，可建立函數(shù)關(guān)系式：
y=

- 2 3 t+160(0＜t＜120) 80(120≤t＜150) 2 5 t+20(150≤t≤180)

．

（2）由題目已知條件可設(shè)z=a（t-110）²+20，
∵圖象過(guò)點(diǎn)（60，

85

3

），
∴

85

3

=a（60-110）²+20，
∴a=

1

300

，
∴z=

1

300

（t-110）²+20（t＞0）．

（3）設(shè)純收益單價(jià)為W元，則W=銷(xiāo)售單價(jià)-成本單價(jià)，
故W=

- 1 300 (t-10)2+100(0＜t＜120) - 1 300 (t-110)2+60(120≤t＜150) - 1 300 (t-170)2+56(150≤t≤180)

，
①當(dāng)W=-

1

300

（t-10）²+100（0＜t＜120）時(shí)，有t=10時(shí)，W最大，最大值為100；
②當(dāng)W=-

1

300

（t-110）²+60（120≤t＜150）時(shí)，由圖象知，有t=120時(shí)，W最大，最大值為59

2

3

；
③當(dāng)W=-

1

300

（t-170）²+56（150≤t≤180）時(shí)，有t=170時(shí)，W最大，最大值為56．
綜上所述，在t=10時(shí)，純收益單價(jià)最大，最大值為100元/500g．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二次函數(shù)的運(yùn)用，由于計(jì)算量大，考生在做這些題的時(shí)候要耐心細(xì)心．難度中上．此題是分段函數(shù)，題目所涉及的內(nèi)容在求解過(guò)程中，要注意分段函數(shù)問(wèn)題先分段解決，最后再整理、歸納得出最終結(jié)論，另外還要考慮結(jié)果是否滿(mǎn)足各段的要求，這是解此類(lèi)綜合應(yīng)用題目的特點(diǎn)．