問題探究

(1)請在圖①中作出兩條直線,使它們將圓面四等分;

(2)如圖②,M是正方形ABCD內(nèi)一定點,請在圖②中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點M),使它們將正方形ABCD的面積四等分,并說明理由.

問題解決

(3)如圖③,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,點P是AD的中點,如果AB=,CD=,且,那么在邊BC上是否存在一點Q,使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分?若存在,求出BQ的長;若不存在,說明理由.

 

 

【答案】

解:(1)如圖①所示:

圖①

(2)如圖②,連接AC、BD相交于點O,作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點,過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點,則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分。

圖②

理由如下:

∵點O是正方形ABCD對角線的交點,∴點O是正方形ABCD的對稱中心。

∴AP=CQ,EB=DF。

在△AOP和△EOB中,

∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE。

∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△EOB(ASA)!郃P=BE=DF=CQ 。∴AE=BQ=CF=PD。

設(shè)點O到正方形ABCD一邊的距離為

。

∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分。

 (3)存在。當(dāng)BQ=CD=時,PQ將四邊形ABCD面積二等分。

理由如下:

如圖③,延長BA至點E,使AE=,延長CD至點F,使DF=,連接EF。

圖③

∴BE∥CF,BE=CF。 ∴四邊形BCFE為平行四邊形。

∵BC=BE=+,∴平行四邊形DBFE為菱形。

連接BF交AD于點M,則△MAB≌△MDF。

∴AM=DM,即點P、M重合。

∴點P是菱形EBCF對角線的交點。

在BC上截取BQ=CD=,則CQ=AB=

設(shè)點P到菱形EBCF一邊的距離為,

。

∴當(dāng)BQ=時,直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分。

【解析】(1)圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的。

(2)連接AC、BD相交于點O,作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點,過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點,則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分?蓱(yīng)用△AOP≌△EOB得出結(jié)論。

(3)把原圖補充成菱形,應(yīng)用菱形的性質(zhì)求解。

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分12分)

問題探究

(1)請在圖①的正方形內(nèi),畫出使的一個點,并說明理由.

(2)請在圖②的正方形內(nèi)(含邊),畫出使的所有的點,并說明理由.

問題解決

(3)如圖③,現(xiàn)在一塊矩形鋼板.工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的鋼板,且.請你在圖③中畫出符合要求的點,并求出的面積(結(jié)果保留根號).

 

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