Question

11、設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足：3a²-10ab+8b²+5a-10b=0，求u=9a²+72b+2的最小值．

Answer 1

分析：先對(duì)3a²-10ab+8b²+5a-10b=0進(jìn)行因式分解求得a-2b=0或3a-4b+5=0；然后分類(lèi)討論①當(dāng)a-2b=0時(shí)，將a=2b代入u=9a²+72b+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值；②當(dāng)3a-4b+5=0時(shí)，聯(lián)合u=9a²+72b+2，來(lái)求u=9a²+72b+2的最值．

解答：解：由3a²-10ab+8b²+5a-10b=0可得（a-2b）（3a-4b+5）=0，（6分）
所以a-2b=0，或3a-4b+5=0．（8分）
①當(dāng)a-2b=0，即a=2b時(shí)，
u=9a²+72b+2=36b²+72b+2=36（b+1）²-34，
于是b=-1時(shí)，u的最小值為-34，此時(shí)a=-2，b=-1．（13分）
②當(dāng)3a-4b+5=0時(shí)，u=9a²+72b+2=16b²+32b+27=16（b+1）²+11，
于是b=-1時(shí)，u的最小值為11，此時(shí)a=-3，b=-1．（18分）
綜上可知，u的最小值為-34．（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值．在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一般是將二次函數(shù)的一般形式利用配方法將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式后，再來(lái)求其最值．