Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=12m，M是劣弧AC的中點(diǎn)，弦AC與BM交于點(diǎn)D，∠ABC=2∠A，
（1）求證：AD=BD；
（2）求AD、DC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
∵∠ABC=2∠A，∠ABC+∠A=90°，
∴∠ABC=60°，∠A=30°；
∵M(jìn)是劣弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABD=∠CBD=30°（等弧所對(duì)的圓周角相等），
∴AD=BD（等邊對(duì)等角）；

（2）在直角三角形ABC中，AB=12m，∠A=30°，
∴AC=AB•cos30°，
∴AC=6m；
在直角三角形在直角三角形ABC中，BCD中，∠CBD=30°，
∴BD=2CD，
∵∠A=∠ABD
∴AD=BD，
∴AD=2CD；
∴CD=AC=2m，
AD=AC=4m．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理知∠C=90°，再根據(jù)已知條件∠ABC=2∠A，在直角三角形ABC中求得，∠A=30°，又有等弧所對(duì)的圓周角相等知∠ABD=∠CBD=30°，最后根據(jù)等邊對(duì)等角證明AD=BD；
（2）利用（1）的結(jié)論，在直角三角形ABC中根據(jù)銳角三角函數(shù)求得AC=6m；再在直角三角形在直角三角形ABC中，由銳角三角函數(shù)求得AC與AD、CD間的數(shù)量關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角的定理（直徑所對(duì)的圓周角是直角）求得∠C=90°，從而證明三角形ABC是直角三角形．