Question

某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電．已知居民小區(qū)A、B分別到主干線l的距離AA₁=2km，BB₁=1km，且A₁B₁=4km．
（1）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？最短線路的長度是多少千米？
（2）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的同旁，如圖（2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？此時(shí)分支點(diǎn)M與A1的距離是多少千米？

Answer 1

分析：（1）連接AB，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求得AB的值；
（2）作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B₂，連接AB₂交直線l于點(diǎn)M，此處即為分支點(diǎn)．

解答：解：（1）連接AB，AB與l的交點(diǎn)就是所求分支點(diǎn)M分支點(diǎn)開在此處，總線路最短．過B作l的平行線與AA₁的延長線交于F，
設(shè)A₁M=x，則MB₁=4-x，

∵BB₁⊥l，AA₁⊥l，
∴∠BB₁M=∠AA₁M=90°，又∠AMA₁=∠BMB₁，
∴△B₁BM∽△A₁AM，
∴

A A1

BB1

=

A1M

MB1

，即

2

1

=

x

4-x

，
解得A₁M=x=

8

3

，
在直角三角形ABF中，AF=AA₁+A₁F=2+1=3，BF=B₁A₁=4，
由勾股定理得AB=

AF2+BF2

=5，
所以分支點(diǎn)M在線段A₁B₁上且距A₁點(diǎn)

8

3

千米處，最短線路的長度為5千米；

（2）如圖（2），作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B₂，連接AB₂交直線l于點(diǎn)M，
此處即為分支點(diǎn)，
由（1）知，A₁M長度為

8

3

千米．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)求解．