Question

如圖，已知直線l的表達(dá)式為y=-x+

2

+1，且點(diǎn)Q在直線l上，點(diǎn)P在x軸上，若要使∠OQP=90°，則線段OP的最小值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意得出P點(diǎn)所在位置，進(jìn)而利用切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出MO的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答：解：∵直線l的表達(dá)式為y=-x+

2

+1，
∴x=0時(shí)，y=

2

+1，y=0時(shí)，x=

2

+1，
∴A（0，

2

+1），B（

2

+1，0），
∴AO=BO=

2

+1，則AB=2+

2

，
根據(jù)題意可得出只有Q點(diǎn)在線段AB上時(shí)，線段OP的最小，
當(dāng)∠OQP=90°時(shí)，
以O(shè)P為直徑，做△OQP的外接圓⊙M，此時(shí)⊙M與直線AB相切于點(diǎn)Q，
連接MQ，
則MQ⊥AB，MO=MQ，
∵∠MBQ=∠ABO，∠MOB=∠AOB，
∴△BMQ∽△BAO，
∴

BM

AB

=

MQ

AO

，
∴

2 +1-MO

2+ 2

=

MO

2 +1

，
∴解得：MO=1，
∴OP=2，
故線段OP的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出△OQP的外接圓⊙M是解題關(guān)鍵．