Question

如圖1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．
（1）過點C作直線DE，分別交AM、BN于點D、E．求證：AB=AD+BE；
（2）如圖2，若將直線DE繞點C轉(zhuǎn)動，使DE與AM交于點D，與NB的延長線交于點E，則AB、AD、BE三條線的長度之間存在何種等量關(guān)系？請你給出結(jié)論并加以證明．

Answer 1

（1）證明：如圖1，延長AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠1=∠2，
∵AM∥BN，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ．
∵AM∥BN，
∴==1，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB；

（2）AD=BE+AB．理由如下：
如圖2，延長AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠1=∠2，
∵AM∥BN，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ．
∵AM∥BN，
∴==1，
∴AD=EQ，
∴EQ=BE+BQ=BE+AB，即
∴AD=BE+AB．
分析：（1）如圖1，延長AC交BE于Q，構(gòu)建等腰△ABQ，則AB=BQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AC=CQ，然后由平行線分線段成比例推知AD=EQ，即可得出答案．
（2）如圖2，延長AC交BE于Q，證法同（1），結(jié)論是AD=BE+AB．
點評：本題考查了平行線等分線段定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力．