Question

已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)M、N分別是對(duì)角線BD和邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)軸對(duì)稱求最短路線的方法得出M點(diǎn)位置，進(jìn)而利用等邊三角形的性質(zhì)與判定以及銳角三角函數(shù)關(guān)系求出MC+NM的值．

解答：解：如圖所示：由題意可得出：作C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，
過(guò)點(diǎn)C′作C′N⊥BC于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)M，連接MC，此時(shí)CM+NM=C′N最小．
設(shè) BN=x，NC=（6-x），
由相似三角形的性質(zhì)，得
MN：8=x：6，
解得MN=

4

3

x．
由勾股定理，得
MC²=

25

9

x²-12x+36．
MC′²=MC=

25

9

x²-12x+36．
NC′²=

25

9

x²-

32

3

x+36．
由勾股定理，得BC′²-BN²=C′N²，
即6²-x²=

25

9

x²-

32

3

x+36，
解得：x=6，
所以CM+NM=C′N=

15

2

，
故答案為：

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路線以及銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用，利用軸對(duì)稱得出M點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．