Question

如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，F為BC邊上一點，且EF⊥AE，AF的延長線與DC的延長線交于點G，連接BE，與AF交于點H，則下列結論中不正確的是

1. A.
   AF=CF+BC
2. B.
   AE平分∠DAF
3. C.
   tan∠CGF=
4. D.
   BE⊥AG

Answer 1

D
分析：根據E為CD的中點，且EF⊥AE，利用互余關系可證△ADE∽△ECF，由相似比可知FC：CE=DE：AD=1：2，設FC=1，則CE=DE=2，AD=AB=BC=4，根據線段的長度，勾股定理，相似三角形的判定與性質，逐一判斷．
解答：由E為CD的中點，設CE=DE=2，則AD=AB=BC=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED=90°-∠FEC=∠EFC，
又∵∠D=∠ECF=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴=，即=，解得FC=1，
A、在Rt△ABF中，BF=BC-FC=4-1=3，AB=4，由勾股定理，得AF=5，
則CF+BC=1+4=5=AF，本選項正確；
B、在Rt△ADE，Rt△CEF中，由勾股定理，得AE=2，EF=，
則AE：EF=AD：DE=1：2，又∠D=∠AEF=90°，
所以，△AEF∽△ADE，∠FAE=∠DAE，即AE平分∠DAF，本選項正確；
C、∵AB∥DG，∴∠CGF=∠BAF，∴tan∠CGF=tan∠BAF==，本選項正確；
D、∵AB≠AE，BF≠EF，∴BE與AG不垂直，本選項錯誤；
故選D．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，角平分線性質，銳角三角函數的定義．關鍵是用互余關系證明三角形相似，利用數量表示線段的長度．