Question

（1）如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，且∠ADC=∠ACB，∠CAB的平分線交CD于點E，交CB于點F，寫出線段CE與CF滿足的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖②，將上題中的“∠ACB=90°”變?yōu)椤啊螦CB=60°”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？直接回答即可，不必證明；
（3）如圖③，△ABC中，改變∠ACB的大小，使點D運動到AB的延長線上，且∠ACB=∠ADC，其余條件不變．在DC上截取DM=CE，過點M作MN∥EA，交AB于點N，猜想：線段MN與AF有怎樣的數(shù)量關系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出∠CFE+∠CAF=90°，∠DEA+∠BAF=90°，推出∠CFE=∠DEA，推出∠CFA=∠CEF，根據(jù)等腰三角形判定推出即可；
（2）求出∠CFE+∠CAF=120°，∠DEA+∠BAF=120°，推出∠CFE=∠DEA，推出∠CFA=∠CEF，根據(jù)等腰三角形判定推出即可；
（3）求出DM=CF=CE，求出∠DNM=∠FAC，根據(jù)AAS證△DNM和△FAC全等即可．

解答：證明：（1）CE=CF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CFE+∠CAF=90°，
∠DEA+∠BAF=90°，
∴∠CFE=∠DEA，
∵∠DEA=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF．

（2）成立，
理由是：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACB=60°，
∴∠CFE+∠CAF=120°，
∠DEA+∠BAF=120°，
∴∠CFE=∠DEA，
∵∠DEA=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF．

（3）MN=AF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠CFE=∠ACB+∠CAE，
∠CEF=∠ADC+∠BAE，
∠ADC=∠ACB，
∴∠CFE=∠CEA，
∴CE=CF，
∵DM=CE，
∴DM=CF，
∵MN∥EA，
∴∠DNM=∠BAE=∠CAE，
在△DNM和△CAF中，

∠DNM=∠FAC ∠D=∠ACF DM=CF

，
∴△DNM≌△CAF（AAS），
∴MN=AF．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義，平行線性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．