Question

在正方形ABCD中，F(xiàn)點(diǎn)是BC上一點(diǎn)，連接DF，過點(diǎn)D作DE⊥DF交BA延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接EF，與BD交于點(diǎn)M．
（1）若DE=2，求EF的長(zhǎng)；
（2）∠BEF的角平分線交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥EF于H，過點(diǎn)D作DN⊥EF于N．求證：HG+DN=AD．

Answer 1

（1）解：正方形ABCD中，AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
∵DE⊥DF，交BA延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠FDA+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∵在△EAD和△FCD中，
，
∴△EAD≌△FCD（ASA），
∴ED=DF，
又∵DE⊥DF，
∴△EFD為等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF=DE=2；

（2）證明：過G點(diǎn)作GP⊥AB于P，
則△PBG為等腰直角三角形，
則BG=PG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠GEF，
又∵GP⊥AB，GH⊥EF，
∴PG=GH，
∴BG=GH，
∵由（1）知，∠DEF=45°，
∴∠DEG=45°+∠FEG，
∠DGE=∠BEG+45°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
在等腰直角△EDF中，∵DN⊥EF，
∴DE=DN，
∴DG=DN，
又∵BD=AD，BD=BG+GD，
即AD=GH+DN，
∴AD=GH+DN．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EDA=∠FDC，然后利用“角邊角”證明△EAD和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得到△EFD是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答；
（2）過G點(diǎn)作GP⊥AB于P，可得△PBG為等腰直角三角形，然后求出BG=PG，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得GH=PG，從而求出BG=GH，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出∠DEG=45°+∠FEG，∠DGE=∠BEG+45°，得到∠DEG=∠DGE，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DG=DE，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍求出DG=DN，然后列式求解即可得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，（1）根據(jù)同角的余角相等求出相等的角從而得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）轉(zhuǎn)化為求三條線段的的線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．