Question

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．
活動(dòng)一：如圖1，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點(diǎn)，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，求陰影部分的面積．

小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE（如圖2所示），一眼就看出這題的答案，請(qǐng)你寫出陰影部分的面積：______．
活動(dòng)二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，求AE的長．

小明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG（如圖4所示），則①四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：______．AE的長是______．
活動(dòng)三：如圖5，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設(shè)BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進(jìn)而得出AE的長；
（3）過點(diǎn)B作BG⊥DC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB與AB的延長線交于點(diǎn)F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值．
解答：解：活動(dòng)一：
∵四邊形DECF是正方形，
∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∴，，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=x，
∵AC²+BC²=AB²，
∴9x²+（x）²=9，
解得：x=，
∴DE=DF=，AE=，BF=，
∴S_△ADE+S_△BDF=1，
∴S_陰影=1；
故答案為：1；

活動(dòng)二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
∴四邊形AECG是矩形，
∵AE=AG，
∴四邊形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，
∴設(shè)AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，
解得：x=4，
∴AE=4．
故答案為：正方形，4；

活動(dòng)三：過點(diǎn)B作BG⊥DC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB與AB的延長線交于點(diǎn)F．
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，
∴CG=DC-DG=4-2=2．
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，
∴CG=EF=2．
∴S_△ABE=AB•EF=2．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)．在解題中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的目的在于通過旋轉(zhuǎn)變換可以使圖形發(fā)生重組，使分散的條件得以集中，然后運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的“不變性”可以使一些問題迎刃而解．一般來說，當(dāng)圖形中有“共點(diǎn)等邊”的圖形時(shí)，常進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換．