Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+1與x軸交于兩點A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點B作BD∥CA與拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+1與x軸交于兩點A（-1，0），B（1，0），
∴，解得，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+1；

（2）∵由（1）知拋物線的解析式為：y=-x²+1，
∴C（0，1），
∵A（-1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OB=OC=，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四邊形ACBD是直角梯形，
設過A、C兩點的直線解析式為y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，1），
∴，解得，
∴直線AC的解析式為y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直線AC向右平移2個單位即可得到直線BD，
∴直線BD的解析式為：y=x-1，
∴，解得或，
∴D（-2，-3），
∴BD==3，
∴S_{四邊形ACBD}=（AC+BD）•BC=×（+3）×=4．
答：四邊形ACBD的面積為4．
分析：（1）直接把點A（-1，0），B（1，0）代入拋物線y=ax²+bx+1求出ab的值，進而可得出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)A、C、B三點的坐標判斷出△ABC的形狀，故可判斷出四邊形ACBD的形狀，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，故可得出直線BD的解析式，求出D點坐標，利用兩點間的距離公式求出BD及AC的長，利用梯形的面積公式即可得出結論．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即一次函數(shù)的解析式，直角梯形的判定與性質，一次函數(shù)的圖象與幾何變換等知識，難度適中．