Question

在△ABC中，已知a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且a、b為關(guān)于x的方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個(gè)根，在AB上取一點(diǎn)D，作DE⊥AC于E，若DE=BD，=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)閍、b關(guān)于x的方程的根，得出a、b、c的關(guān)系來判斷三角形的類型，然后根據(jù)此條件為基礎(chǔ)來求要求的值．
解答：解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：
a+b=c+4，ab=4c+8
那么（a+b）²=a²+b²+2ab=a²+b²+2（4c+8）=（c+4）²
a²+b²=c²
那么△ABC為直角三角形，且∠C為直角，那么DE∥BC，
根據(jù)：=，，設(shè)a=3x，b=4x，c=5x，那么a+b=7x=c+4=5x+4
x=2．所以a=6，b=8，c=10．
設(shè)DE=m，根據(jù)DE∥BC，得：
，根據(jù)DE=BD，AD=AB-BD=AB-DE，那么
，m=；
由，即，AE=5，
答：AE的長(zhǎng)為5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直角三角形的特點(diǎn)，相似三角形的特點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，要根據(jù)題意靈活運(yùn)用．