Question

某公司專銷產品A，第一批產品A上市40天內全部售完．該公司對第一批產品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖所示，其中圖1中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系；圖2中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系．

（1）試寫出第一批產品A的市場日銷售量y與上市時間t的關系式；

（2）第一批產品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？

Answer 1

解：(1) 由圖1可得，

當0≤t≤30時，設市場的日銷售量y＝k t．              

∵ 點（30，60）在圖象上，

∴ 60＝30k．

∴ k＝2．即 y＝2 t． 

當30≤t≤40時，設市場的日銷售量y＝k₁t+b．

因為點（30，60）和（40，0）在圖象上，

所以        

解得  k₁＝－6，b＝240．

∴ y＝－6t＋240．   

綜上可知，當0≤t≤30時，市場的日銷售量y＝2t；

當30≤t≤40時，市場的日銷售量y＝－6t＋240．

    (2) 方法一：由圖2得，

當0≤t≤20時，每件產品的日銷售利潤為y＝3t；

當20≤t≤40時，每件產品的日銷售利潤為y＝60．

∴ 當0≤t≤20時，產品的日銷售利潤y＝3t×2t＝6 t²； 

∴ 當t＝20時，產品的日銷售利潤y最大等于2400萬元．

當20≤t≤30時，產品的日銷售利潤y＝60×2t =120t．

∴ 當t＝30時，產品的日銷售利潤y最大等于3600萬元；

當30≤t≤40時，產品的日銷售利潤y＝60×(－6t＋240)；

∴ 當t＝30時，產品的日銷售利潤y最大等于3600萬元．

綜上可知，當t＝30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元．

方法二：由圖1知，當t＝30（天）時，市場的日銷售量達到最大60萬件；又由圖2知，當t＝30（天）時產品的日銷售利潤達到最大60

元/件，所以當t＝30（天）時，市場的日銷售利潤最大，最大值為3600萬元．