Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長(zhǎng)是____（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x＝2時(shí)，點(diǎn)G的位置在_______；

⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）x，D點(diǎn)（2）①y＝x²，②.當(dāng)2＜x＜3時(shí)，y=;

當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y= (3) 當(dāng)x＝時(shí)，y_最大＝

【解析】

試題分析：⑴根據(jù)題意等邊△EFG，已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）.那么EF=2x-x=x,所以△EFG的邊長(zhǎng)是x；當(dāng)x＝2時(shí)，EF=2，等邊△EFG，則過(guò)G點(diǎn)做EF上的高交EF于M點(diǎn)，這高GM也是EF的中線，則BM=BE+EM=2+1=3，在△EFG中，由三角函數(shù)定義得GM=；在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，過(guò)D做BC邊上高，交BC于N點(diǎn)，四邊形ABND是矩形，AD=BN，則AB="DN=" ，所以G與D點(diǎn)重合

⑵①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y＝x²； 

②分兩種情況：

Ⅰ.當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.

由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，

所以，此時(shí) y＝x²－（3x－6）²＝. 

Ⅱ.當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC＝6－x,

∴y＝（6－x）²＝  

⑶當(dāng)0＜x≤2時(shí)，∵y＝x²在x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，

∴x＝2時(shí)，y_最大＝；

當(dāng)2＜x＜3時(shí)，∵y＝在x＝時(shí)，y_最大＝；

當(dāng)3≤x≤6時(shí)，∵y＝在x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，

∴x＝3時(shí)，y_最大＝. 

綜上所述：當(dāng)x＝時(shí)，y_最大＝.

考點(diǎn)：直角梯形，等邊三角形，二次函數(shù)，三角函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形，等邊三角形，二次函數(shù)，三角函數(shù)，解答本題需要清楚直角梯形的常規(guī)輔助線做法，及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，怎么能二次函數(shù)的關(guān)系式和其最值，掌握三角函數(shù)的定義，會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)來(lái)求直角三角形的邊