Question

觀察規(guī)律并填空（本題7分）
（1）(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

，
(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

，
(4+

1

4

)2=42+

 

+

1

42

；
（2）若(x+

1

x

)2=13，求x2+

1

x2

的值．

Answer 1

分析：觀察這幾個(gè)等式可以看出：都是利用完全平方公式來(lái)展開(kāi)因式的；又因?yàn)槔ㄌ?hào)內(nèi)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，所以結(jié)果就等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上2．
因此：（1）由(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

和(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

可以看出：所以(4+

1

4

)2=42+？+

1

42

中的橫線上應(yīng)該填2．
（2）由（1）中三個(gè)等式可以看出：(x+

1)

x

2=x²+2+

1

x2

；根據(jù)(x+

1

x

)2=13可以求出x2+

1

x2

的值．

解答：解：（1）由(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

和(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

得：(4+

1

4

)2=42+2+

1

42

．

（2）由（1）中等式可以得到規(guī)律：(x+

1

x

)2=x²+2+

1

x2

；
∵(x+

1

x

)2=13；
∴(x+

1

x

)2=x²+2+

1

x2

=13；
解得x2+

1

x2

=13-2=11．

點(diǎn)評(píng)：兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式；如果這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)時(shí)，結(jié)果就是兩數(shù)的平方和，再加上或減去2了．