(2012•六盤水)如圖1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,它們的速度均為2cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動的時間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:

(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥BC.
(2)設(shè)△AQP面積為S(單位:cm2),當(dāng)t為何值時,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(4)如圖2,把△AQP沿AP翻折,得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形?若存在,求出此時菱形的面積;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由PQ∥BC時的比例線段關(guān)系,列一元一次方程求解;
(2)如解答圖1所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D,構(gòu)造比例線段,求得PD,從而可以得到S的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值;
(3)要點(diǎn)是利用(2)中求得的△AQP的面積表達(dá)式,再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判別式小于0,則可以得出結(jié)論:不存在這樣的某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分;
(4)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系,求得PQ、QD和PD的長度;然后在Rt△PQD中,求得時間t的值;最后求菱形的面積,值得注意的是菱形的面積等于△AQP面積的2倍,從而可以利用(2)中△AQP面積的表達(dá)式,這樣可以化簡計算.
解答:解:∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形,∠C為直角.

(1)BP=2t,則AP=10-2t.
∵PQ∥BC,∴
AP
AB
=
AQ
AC
,即
10-2t
10
=
2t
8
,解得t=
20
9
,
∴當(dāng)t=
20
9
s時,PQ∥BC.

(2)如答圖1所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D.
∴PD∥BC,
AP
AB
=
PD
BC

10-2t
10
=
PD
6
,
解得PD=6-
6
5
t.
S=
1
2
×AQ×PD=
1
2
×2t×(6-
6
5
t)
=-
6
5
t2+6t
=-
6
5
(t-
5
2
2+
15
2
,
∴當(dāng)t=
5
2
s時,S取得最大值,最大值為
15
2
cm2

(3)假設(shè)存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,
則有S△AQP=
1
2
S△ABC,而S△ABC=
1
2
AC•BC=24,∴此時S△AQP=12.
由(2)可知,S△AQP=-
6
5
t2+6t,
∴-
6
5
t2+6t=12,化簡得:t2-5t+10=0,
∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程無解,
∴不存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分.

(4)假設(shè)存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,則有AQ=PQ=BP=2t.
如答圖2所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D,則有PD∥BC,
AP
AB
=
PD
BC
=
AD
AC
,即
10-2t
10
=
PD
6
=
AD
8

解得:PD=6-
6
5
t,AD=8-
8
5
t,
∴QD=AD-AQ=8-
8
5
t-2t=8-
18
5
t.
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即(8-
18
5
t)2+(6-
6
5
t)2=(2t)2,
化簡得:13t2-90t+125=0,
解得:t1=5,t2=
25
13

∵t=5s時,AQ=10cm>AC,不符合題意,舍去,∴t=
25
13

由(2)可知,S△AQP=-
6
5
t2+6t,
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-
6
5
t2+6t)=2×[-
6
5
×(
25
13
2+6×
25
13
]=
2400
169
(cm2).
所以存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,此時菱形的面積為
2400
169
cm2
點(diǎn)評:本題是非常典型的動點(diǎn)型綜合題,全面考查了相似三角形線段比例關(guān)系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數(shù)的極值等知識點(diǎn),涉及的考點(diǎn)眾多,計算量偏大,有一定的難度.本題考查知識點(diǎn)非常全面,是一道測試學(xué)生綜合能力的好題.
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25
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25
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2
,
1
3
,π,
38
,cos45°,
    ••
0.32
中是無理數(shù)的個數(shù)有( 。﹤.

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