Question

25、我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點(diǎn)O，連接OA、OC．顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”．

（1）試說明直線AE是“好線”的理由；
（2）如下圖，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請作出經(jīng)過F點(diǎn)的“好線”，并對畫圖作適當(dāng)說明（不需要說明理由）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AE與OC的交點(diǎn)是F．要說明直線AE是“好線”，根據(jù)已知條件中的折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，只需說明三角形AOF的面積等于三角形CEF的面積．則根據(jù)兩條平行線間的距離相等，結(jié)合三角形的面積個數(shù)可以證明三角形AOE的面積等于三角形COE的面積，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)兩條平行線間的距離相等，只需借助平行線即可作出過點(diǎn)F的“好線”．

解答：解：（1）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)O，
因?yàn)镺E∥AC，
所以S_△AOE=S_△COE，
所以S_△AOF=S_△CEF，
又因?yàn)�，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，
所以直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是“好線”．

（2）連接EF，過A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線”．
∵AG∥EF，
∴S_△AGE=S_△AFG．
設(shè)AG與EF的交點(diǎn)是O．
則S_△AOF=S_△GOE，
又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”．

點(diǎn)評：能夠根據(jù)兩條平行線間的距離相等發(fā)現(xiàn)三角形的面積相等，理解“好線”的概念．