Question

【題目】如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸與拋物線相交于點M，與x軸相交于點N，點P是線段MN上的一個動點，連接CP，過點P作PE⊥CP交x軸于點E．

（1）求拋物線的頂點M的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點E與原點O的重合時，求點P的坐標(biāo)；

（3）求動點E到拋物線對稱軸的最大距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）（1，-4）．（2）當(dāng)點E與原點O的重合時，點P的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．（3）點E到拋物線對稱軸的最大距離是4．

【解析】

（1）利用配方法將拋物線的解析式由一般式變形為頂點式，進(jìn)而即可得出頂點M的坐標(biāo)；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo)，過點C作CF⊥直線MN，垂足為點F，易證△PON∽△CPF，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于PN長度的一元二次方程，解之即可得出PN的長，進(jìn)而可得出點P的坐標(biāo)；

（3）過點C作CF⊥直線MN，垂足為點F，設(shè)PN=m，分0＜m＜3，m=0或m=3，3＜m≤4三種情況考慮：①當(dāng)0＜m＜3時，由（2）可知：△PEN∽△CPF，利用相似三角形的性質(zhì)可得出EN關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；②當(dāng)m=0或3時，點E和點N重合，此時EN=0；③當(dāng)3＜m≤4時，易證△PCF∽△EPN，利用相似三角形的性質(zhì)可得出EN關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．綜上，取EN的最大值即可得出結(jié)論．

解：（1）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線的頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）當(dāng)x=0時，y=x2-2x-3=-3，

∴點C的坐標(biāo)為（0，-3）．

過點C作CF⊥直線MN，垂足為點F，如圖1所示．

∵∠PON+∠OPN=90°，∠OPN+∠CPF=180°-∠CPO=90°，

∴∠PON=∠CPF．

又∵∠PNO=∠CFP=90°，

∴△PON∽△CPF，

∴=，即=，

∴PN=，

∴當(dāng)點E與原點O的重合時，點P的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．

（3）過點C作CF⊥直線MN，垂足為點F，設(shè)PN=m，分三種情況考慮，如圖2所示．

①當(dāng)0＜m＜3時，由（2）可知：△PEN∽△CPF，

∴=，即=m，

∴EN=-m2+3m=-（m-）2+．

∵-1＜0，

∴當(dāng)m=時，EN取得最大值，最大值為；

②當(dāng)m=0或3時，點E和點N重合，此時EN=0；

③當(dāng)3＜m≤4時，∵∠PCF+∠CPF=90°，∠CPF+∠EPN=90°，

∴∠PCF=∠EPN．

又∵∠CFP=∠PNE=90°，

∴△PCF∽△EPN，

∴=，即=，

∴EN=m2-3m．

∵1＞0，

∴當(dāng)3＜m≤4時，EN的值隨m值的增大而增大，

∴當(dāng)m=4時，EN取得最大值，最大值為4．

綜上所述：點E到拋物線對稱軸的最大距離是4．