Question

已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，兩直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的值及AC、BC的長（BC＞AC）；
（2）在線段BC的延長線上是否存在點(diǎn)D，使得以D、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系與勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的長；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來解答此題，利用相似比即可求出CD的長．

解答：解：（1）設(shè)方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個(gè)根分別是x₁、x₂
∴x₁+x₂=m+5，x₁•x₂=6m
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+5）²-2×6m
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5
∴x₁²+x₂²=AB²
∴（m+5）²-2×6m=5²∴m²-2m=0
∴m=0或m=2
當(dāng)m=0時(shí)，原方程的解分別為x₁=0，x₂=5，但三角形的邊長不能為0，所以m=0舍去．
當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x²-7x+12=0，其解為x₁=3，x₂=4，所以兩直角邊AC=3，BC=4
∴m=2，AC=3，BC=4

（2）存在；
已知AC=3，BC=4，AB=5
欲使以△AD₁C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則

AB

AD1

=

AC

CD1

=

BC

AC

，∴

3

CD1

=

4

3

，則CD=

9

4

欲使以△AD₂C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則

AB

AD2

=

BC

CD2

=

AC

AC

，∴BC=CD₂=4

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地將根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形聯(lián)系在一起，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，同時(shí)還考查了分類討論思想．