Question

如圖已知矩形ABCD沿著BD折疊，使點(diǎn)C落在C?處，BC?交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4．
（1）求證：BE=DE；
（2）求AE的長(zhǎng)； 
（3）若過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：∠ADB=∠CBD，再由折疊知∠CBD=∠EBD，即可得到∠EBD=∠EDB，證明出BE=DE；
（2）設(shè)AE=EC′=x，則DE=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出AE的長(zhǎng)；
（3）由△BFE∽△BC′D，列出比例關(guān)系即可求出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵∠CBD=∠EBD，
∴∠EBD=∠EDB；

（2）解：設(shè)AE=EC′=x，則DE=8-x，
在Rt△DC′E中，C′E²+C′D²=DE²，即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，即AE的長(zhǎng)為3；

（3）解：∵EF⊥BD，
∴∠EFB=90°=∠C′，
又∵∠EBF=∠DBC′，
∴Rt△BFE∽R(shí)t△BC′D，
∴

EF

C′D

=

BE

BD

，
即

EF

4

=

5

4 5

，
解得EF=

5

，
∴EF的長(zhǎng)為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查翻折變換的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、相似的三角形的性質(zhì)以及翻折變換的知識(shí)，此題難度一般．