Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求系數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出c的值，也就得出了C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于拋物線的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值越大開口越小，因此可計(jì)算出當(dāng)∠ACB=90°時(shí)a的取值進(jìn)而來求a的取值范圍．當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，根據(jù)射影定理可求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中表示C點(diǎn)坐標(biāo)的式子可得出此時(shí)a的值．因此a的取值范圍就應(yīng)該是0到這個(gè)值之間（a≠0）；
（3）延長(zhǎng)DC交x軸于H，過B作BM⊥DH于M，那么BM就是所求的h；先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，過D作DG⊥y軸于G，根據(jù)相似三角形DCG和HCO不難求出OH=3，那么BH=2，因此在直角三角形HBM中，要想使BM最長(zhǎng)，就需要使∠OHC最大，即OC要最長(zhǎng)，根據(jù)（2）a的取值范圍即可得出a的最大值，也就能求出此時(shí)∠BHM的正弦值，進(jìn)而可求出BM的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∴

0=(-3)2•a+(-3)•b+c 0=a+b+c

消去b，得c=-3a
∴C的坐標(biāo)為（0，-3a）；

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)
∠AOC=∠BOC=90°
∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴

AO

OC

=

OC

OB

即OC²=AO•OB
∵AO=3，OB=1
∴OC=

3

∵∠ACB不小于90°
∴OC≤

3

即-c≤

3

由（1）得3a≤

3

∴a≤

3

3

又∵a＞0
∴a的取值范圍為0＜a≤

3

3

；

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，如圖，
∵拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-3，0），B（1，0）
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1
即-

b

2a

=-1，所以b=2a
又由（1）有c=-3a
∴拋物線方程為y=ax²+2ax-3a
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4a）
∴CO=3a，GC=a，DG=1
∵DG∥OH
∴△DCG∽△HCO
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

a

3a

∴OH=3
∴直線DC過定點(diǎn)H（3，0）
過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h
∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC
∵0＜CO≤

3

∴0°＜∠OHC≤30°
∴0＜sin∠OHC≤

1

2

∴0＜h≤1
∴h的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．