【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A0,1),點(diǎn)B﹣9,10),ACx軸,點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

1)求拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)EF,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1y= x2+2x+12P,)(3Q4,1)或(3,1

【解析】試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;

2)設(shè)點(diǎn)Pm m2+2m+1),表示出PE=m23m,再用SAECP=SAEC+SAPC=AC×PE,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;

3)先判斷出PF=CF,再得到PCF=EAF,以CP、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,分兩種情況計(jì)算即可.

試題解析:(1點(diǎn)A0,1).B﹣910)在拋物線上,

,

拋物線的解析式為y=x2+2x+1,

2ACx軸,A0,1

x2+2x+1=1

x1=﹣6,x2=0,

點(diǎn)C的坐標(biāo)(﹣6,1),

點(diǎn)A0,1).B﹣910),

直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設(shè)點(diǎn)Pm, m2+2m+1

Emm+1

PE=m+1m2+2m+1=m23m,

ACEP,AC=6,

SAECP=SAEC+SAPC=AC×EF+AC×PF

=AC×EF+PF

=AC×PE

=×6×m23m

=﹣m2﹣9m

=m+2+,

﹣6m0

當(dāng)m=時(shí),四邊形AECP的面積的最大值是,此時(shí)點(diǎn)P,).

3y=x2+2x+1=x+322,

P﹣3,﹣2),

PF=yFyP=3,CF=xFxC=3

PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:EAF=45°,

∴∠PCF=EAF,

在直線AC上存在滿足條件的Q,

設(shè)Qt,1)且AB=9,AC=6,CP=3

C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,

當(dāng)CPQ∽△ABC時(shí),

,

t=﹣4,

Q﹣41

當(dāng)CQP∽△ABC時(shí),

,

t=3,

Q31).

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