Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連結(jié)AE、AF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE繞著點(diǎn)______，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)______度得到；
（3）若AD=8，S_△AEF：S_△CEF=5：3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∴D=∴ABC=90°，
∴∠ABF=90°=∠D，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE繞著點(diǎn)A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；
故答案為：A，90；

（3）解：設(shè)DE=x，則EC=8-x，F(xiàn)C=8+x，AE²=8²+x²，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∵S_△AEF：S_△CEF=5：3，
∴（8²+x²）：（8+x）（8-x）=5：3，
解得：x₁=4，x₂=-4（舍去），
∴DE=4．
分析：（1）由在正方形ABCD中，E、F分別是CD和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，利用SAS，即可證得：△ADE≌△ABF；
（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE繞著點(diǎn)A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；
（3）首先設(shè)DE=x，則EC=8-x，F(xiàn)C=8+x，AE²=8²+x²，易得△AFE是等腰直角三角形，由S_△AEF：S_△CEF=5：3，可得方程：（8²+x²）：（8+x）（8-x）=5：3，解此方程即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．