Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D 出發(fā)，沿線段DA向點A作勻速運動．過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點N．P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度．當(dāng)Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點Q運動的時間為t秒．
【小題1】求NC，MC的長（用t的代數(shù)式表示）
【小題2】當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？
【小題3】當(dāng)t為何值時，射線QN恰好將△ABC的面積平分？并判斷此時△ABC的周長是否也被射線QN平分．

Answer 1

【小題1】∵AQ=3﹣t，
∴CN=4﹣（3﹣t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM===，CM=；（3分）
【小題2】由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，
∴PC=QD，即4﹣t=t，
解得t=2，
則當(dāng)t=2時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；（6分）
【小題3】∵NC=t+1，MN=，
∴S_△MNC=×4×3，…（8分）
∴（1+t）²=8，
∴t₁=2﹣1，t₂=﹣2﹣1（舍）…（9分）
∴當(dāng)t=2﹣1時，△ABC的面積被射線QN平分．…（10分）
當(dāng)t=﹣2﹣1時，MC+NC=+1+t=≠（3+4+5），
∴此時△ABC的周長不被射線QN平分．…（12分）

解析