Question

如圖，⊙O的半么為6，AB為弦，將⊙O沿弦AB所在的直線折疊后，

AB

上的點(diǎn)H與圓心O重合．
（1）求弦AB的長度．
（2）點(diǎn)E是

AOB

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作

AOB

的切線交⊙O于C、D兩點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，判斷CD與AB的位置關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，判斷CD與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
③請你直接寫出線段CD的長度的范圍．

Answer 1

分析：（1）連接EH，BO，根據(jù)勾股定理求出BM，根據(jù)垂徑定理求出AB=2BM，求出即可；
（2）①連接EH，根據(jù)折疊得出AB⊥OH，根據(jù)切線定理得出HO⊥CD，根據(jù)平行線的判定推出即可；②求出AD長，即可得出答案；③當(dāng)和A或B重合時(shí)，CD=AB，當(dāng)和A、B不重合時(shí)，根據(jù)直徑是最長的弦，CD＞6

3

．

解答：解：（1）如圖3，連接EH，BO，
∵⊙O半徑為6，沿AB折疊H和O重合，
∴OM=HM=3，OH⊥AB，
∴由垂徑定理得：AB=2BM=2AM，由勾股定理得：BM=

62-32

=3

3

，
即AB=6

3

；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，CD∥AB，
理由是：如圖1，連接HE，
∵OH是半徑，CD切⊙H于E，
∴OH⊥CD，
∵OH⊥AB，
∴CD∥AB；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，CD=AB=6

3

，
理由是：連接HD，
∵CD切⊙H于A，
∴HA⊥CD，
∴∠HAD=90°，
∴HD為直徑，
即HD=2×6=12，
∵AH=6，
∴在Rt△DAH中，AD=

122-62

=6

3

，
即CD=AB=6

3

；

③∵當(dāng)和A或B重合時(shí)，CD=AB，當(dāng)和A、B不重合時(shí)，根據(jù)直徑是最長的弦，CD＞6

3

，
∴線段CD的長度的范圍是CD≥6

3

．

點(diǎn)評：本題考查了切線性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：直徑是最長的弦．