Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在AC上（點E與A、C都不重合），點F在斜邊AB上（點F與A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周長，設AE=x，△AEF的面積為y，寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周長為12，又因EF平方三角形ABC的周長，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6-x
過點F作FD⊥AC于D
則
∴
∴DF=
所以y=AE•DF=x•=-x²+x（1＜x＜3）

（Ⅱ）這樣的EF存在，
S△ABC=BC•AC=×4×3=6
∵EF平分△ABC的面積，
所以-x²+x=3
解得：x=
∵0＜x＜3
∴x取
∴6-x=6-=＜5
符合題意，所以這樣的EF存在，此時AE=．
分析：（Ⅰ）根據(jù)AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面積列出兩個變量之間的關系式即可；
（Ⅱ）根據(jù)EF平分三角形ABC的面積列出有關x的一元二次方程，解得有意義即可判定存在．
點評：本題考查了一元二次方程的應用及根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)關系式，解題的關鍵是根據(jù)已知條件表示出有關的線段的長．