Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，連接BE，交AD于點F，交AC于點G．

（1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度數(shù)；

（2）求證：∠AEB=∠ACF；

（3）試判斷線段EF、BF與AC三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）證明見解析；（3）EF2+BF2=2AC2．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠CAF，根據(jù)SAS推出△BAF≌△CAF，根據(jù)全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；

（3）根據(jù)全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根據(jù)勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案．

（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°，

∴∠BAE=50°+90°=140°，

∴∠AEB=（180°-140°）÷2=20°；

（2）∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠BAF=∠CAF．

在△BAF和△CAF中

，

∴△BAF≌△CAF（SAS），

∴∠ABF=∠ACF，

∵∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB=∠ACF；

（3）∵△BAF≌△CAF，

∴BF=CF，

∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，

∴∠CFG=∠EAG=90°，

∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠CAE=90°，AC=AE，

∴EC2=AC2+AE2=2AC2，

即EF2+BF2=2AC2．