Question

（2010•淄博）將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，連接DP，求DP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上？求出此時(shí)?DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DF⊥AC，由AB的長(zhǎng)求得BC、AC的長(zhǎng)．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長(zhǎng)．則由勾股定理即可求得DP的長(zhǎng)．
（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．
（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊形，求得面積．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=，AC=3．
（1）如圖（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=，
∴DP==．

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=，
∴cos∠PDF==，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度數(shù)為15°或75°；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC中點(diǎn)（如圖4），即CP=時(shí)，
以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上．
∵四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2，BC=，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=3，
∵△DAC為等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四邊形DPBQ的高，
∴S_{平行四邊形DPBQ}=DP•CP=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度系數(shù)較大．