Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，﹣3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△ABM的面積．

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=，直線AB的解析式是y=x-3；

（2）；

（3）存在，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或；

【解析】試題分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入與，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（， ），則M（， ），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=（）﹣（）=，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到

當(dāng)時(shí)，PM最長(zhǎng)為，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可；

（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（ ）﹣（）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3， ，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．

試題解析：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入，得： ，解得，

所以拋物線的解析式是．

設(shè)直線AB的解析式是，

把A（3，0）B（0，﹣3）代入，得： ，解得： ，

所以直線AB的解析式是；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（， ），則M（， ），因?yàn)?/span>p在第四象限，

所以PM=（）﹣（）=，

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為，

則S△ABM=S△BPM+S△APM=；

（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，

∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3．

②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（ ）﹣（）=3，解得， （舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；

③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3， ，解得（舍去），，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．