Question

如圖1，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4cm，AD=2cm．同學(xué)小明現(xiàn)將該矩形紙片沿EF折痕，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕后在其一面著色（如圖2），觀察圖形對(duì)比前后變化，回答下列問題：
（1）GF

=

FD：（直接填寫=、＞、＜）
（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由；
（3）小明通過此操作有以下兩個(gè)結(jié)論：
①四邊形EBCF的面積為4cm²
②整個(gè)著色部分的面積為5.5cm²
運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，請(qǐng)論證小明的結(jié)論是否正確．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEF=∠CFE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AEF=∠FEC，從而得到∠CFE=∠FEC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=CF，從而得解；
（3）①根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=EC，然后求出AE=CF，再根據(jù)圖形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
②設(shè)GF=x，表示出CF，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理列式求出GF，根據(jù)三角形的面積公式求出S_GFC，然后計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）由翻折的性質(zhì)，GD=FD；

（2）△CEF是等腰三角形．
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
由翻折的性質(zhì)，∠AEF=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
故△CEF為等腰三角形；

（3）①由翻折的性質(zhì)，AE=EC，
∵EC=CF，
∴AE=CF，
∴S_{四邊形EBCF}=

1

2

（EB+CF）•BC=

1

2

AB•BC=

1

2

×4×2×

1

2

=4cm²；
②設(shè)GF=x，則CF=4-x，
∵∠G=90°，
∴x²+2²=（4-x）²，
解得x=1.5，
∴S_GFC=

1

2

×1.5×2=1.5，
S_著色部分=1.5+4=5.5；
綜上所述，小明的結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理的應(yīng)用，熟記翻折前后的兩個(gè)圖形能夠完全重合是解題的關(guān)鍵．